قوانين حساب المثلثات

مودة شريف

تعتبر قوانين حساب المثلثات من أكثر قوانين العالم أهمية لاستخدامها في كثير من المجالات والتي تتعدد أنواع القوانين المستخدمة بها بناءًا على نوع المثلث المستخدم كل ذلك سوف نتعرف عليه من خلال موقع فكرة.

قوانين حساب المثلثات

قوانين حساب المثلثات

تتعدد القوانين التي يمكن استخدامها في حساب مساحة المثلث والتي يمكن سردها في النقاط التالية:

1- قوانين متطابقات المثلث

  • جاس=الضلع المقابل للزاوية س/وتر المثلث.
  • جتاس= الضلع المجاور للزاوية س/وتر المثلث.
  • ظاس= الضلع المقابل للزاوية س/ المضلع المجاور للزاوية س=جاس/جتاس.
  • قاس=وتر المثلث/الضلع المجاور للزاوية س=1+جتاس.
  • قتاس=وتر المثلث/المقابل للزاويةس=1+جاس.
  • ظتاس=الضلع المجاور للزاويةس/الضلع الماقبل للزاوية س=1/ظاس=جتاس/جاس.

2- قوانين متطابقات فيثاغورث

يعتبر فيثاغورث من أشهر الناس في علوم حساب المثلثات وهي تشتمل على ما يلي:

  • جتا² س+ جا² س= 1
  • قا² س- ظا² س= 1
  • قتا² س- ظتا² س= 1

3- قوانين متطابقات ضعف الزاوية

تشتمل هذه القوانين على ما يلي:

  • جتا 2س= جتا² س- جا² س.
  • ظتا 2س=(ظتا²س-1) /2 ظتاس.
  • جتا 2س= جتا² س- جا² س.
  • ظا 2س = 2 ظاس/ (1-ظا² س).

4- قوانين متطابقات نصف الزاوية

تشتمل هذه القوانين على ما يلي:

  • جا (س/2) =± ((1-جتا س) /2) √.
  • جتا (س/2) =± ((1+جتا س) /2) √.
  • ظا (س/2) =± ((1-جتا س) / (1+جتا س)) √= جاس/ (1+جتا س) = 1-جتا س/ جا س= قتا س-ظتا س.
  • ظتا (س/2) =± ((1+جتا س) / (1-جتا س)) √= جاس/ (1-جتا س) = 1+جتا س/ جا س= قتا س+ظتا س.

5- قوانين متطابقات الجمع والطرح

يمكن إيضاحها فيما لي:

  • جتا (س+ص) = جتا (س) جتا (ص) – جا (س) جا (ص).
  • جا (س±ص) = جا (س) جتا (ص) ± جتا (س) جا (ص).
  • جتا (س-ص) = جتا (س) جتا (ص) + جا (س) جا (ص).
  • ظا (س+ص) = ظا (س) + ظا (س)/ (1- (ظا س ظا ص).
  • ظا (س-ص) = ظا (س) – ظا (س)/ (1+ (ظا س ظا ص).

6- قوانين متطابقات الجمع والضرب

يمكن عرضها من خلال ما يلي:

  • جاس جا ص= ½ [جتا(س-ص) – جتا (س+ص)].
  • جتاس جتا ص= ½ [جتا(س-ص) + جتا (س+ص)].
  • جاس جتا ص= ½ [جا(س+ص) + جا (س-ص)].
  • جتاس جا ص= ½ [جا(س+ص)- جا (س-ص)].

7- قوانين متطابقات عكس الزوايا

يمكن عرض هذه القوانين من خلال النقاط التالية:

  • جا (-س) = – جا س.
  • جتا (-س) = جتا س.
  • ظا (-س) = – ظا (س).

8- قوانين متطابقات زوايا التمام

يمكن عرض هذه القوانين من خلال ما يلي:

  • جا (90-س) = جتا س.
  • جتا (90-س) = جا س.
  • ظا (90-س) = ظتا س.
  • ظتا (90-س) = ظا س.
  • قا (90-س) = قتا س.
  • قتا (90-س) = قا س.

9- قوانين متطابقات الزوايا المتكاملة

يتم عرض هذه القوانين من خلال النقاط التالية:

  • جا س= جا (180-س).
  • جتا س= – جتا (180-س).
  • ظا س= – ظا (180-س).

10- قوانين جيب التمام

تعتبر هذه القوانين لا تستخدم إلا ف حالة إذا كان المثلث قائم فقط لا غير ذلك:

  • (أ/جا أَ) = (ب/جا بَ) = (جـ/جا جـَ).
  • حيث إن يمكن إيضاح أن: أ، ب، ج): هي أطوال أضلاع المثلث.
  • اً، بَ، جَ): هي الزوايا المقابلة على الترتيب لهذه الأضلاع.

11- قانون جيب تمام الزاوية

يستخدم هذا القانون مع جميع أنواع المثلثات ويكون كالتالي:

  • أ²= ب²+جـ² -(2×ب×جـ×جتا أَ)، حيث إن: (أَ) هي الزاوية المحصورة بين الضلعين (جـ) و(ب)، والمقابلة للضلع أ.
  • ب²= أ²+جـ² – (2×أ×جـ×جتا بَ)، حيث إن: (بَ) هي الزاوية المحصورة بين الضلعين (أ) و(جـ)، والمقابلة للضلع ب.
  • ـ²= أ²+ب² – (2 ×أ ×ب ×جتا جـَ)، حيث إن: (جـَ) هي الزاوية المحصورة بين الضلعين (أ) و(ب)، والمقابلة للضلع ج.

أمثلة على حساب المثلثات

بعدما تعرفنا على ما هي قوانين حساب المثلثات سوف نعرض بعض الأمثلة عليها وهي كالتالي:

1- حساب جيب التمام

إذا كان المثلث قائم الزاوية طول ال وتر4.9 سم، الزاوية المركزية 35، الضلع المقابل للزاوية 2.8سم، طول الضلع المجاور 4سم:

  • بما أن جاس=الضلع المقابل للزاوية المركز/وتر المثلث.
  • إذا جا35=2.8/4.9=0.57.

2- قياس الضلعين أ، ب والزاوية ب

في المثلث أ، ب، ج طول أج =3سم، والضلع بج =أ، والزاوية ج=85 درجة، والزاوية أ=35 درجة:

  • قياس الزاوية ب=1803(أ+ج) =180-(35+85) +60 درجة (لأن مجموع زوايا المثلث =180 درجة).
  • بما أن (أ/جا أَ) = (ب/جا بَ) = (جـ/جا جـَ).
  • 3/جا60= أ/جا 35، ومنه: أ = 1.99سم.
  • إذا ج= 3/جا60= ج/جا 85 = 3.45سم

3- إيجاد ظل الزاوية

قوانين حساب المثلثات

إذا كان المثلث قائم الزاوية كانت جاس=0.4، جتاس=0.2:

  • بما أن ظا س= جاس/ جتا س.
  • إذا ظاس= 0.4/0.2=0.2.

يمكن الاعتقاد أن أول من قاموا بدراسة علم المثلثات هم الفراعنة حيث يوجد ما يثبت ذلك وهو بنائهم للأهرامات بدقة عالية ومحكمة وهندسية كبيرة والتي ينطبق بها كافة أو معظم قوانين حساب المثلثات.

أسئلة شائعة

  • ما هي نسبة التشابه؟

    هي النقطة التي يمكن استنتاجها من المثلث.

  • متى cos يساوي صفر؟

    عندما طول الضلع المجاور مساوي للوتر مساوي صفر.